一位辞职的同事到处散布谣言，然后散布谣言，

您可以先对其进行书面或口头警告，并依据公司规定处理。如情节严重，可解除劳动合同或向公安机关报案。《劳动合同法》及《治安管理处罚法》等相关法律对此有明确规定，若不及时处理，谣言可能持续发酵，对您的工作和名誉造成更大损害。
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员工散布谣言，处理需分情况。1.轻微时，教育警告并依据公司规定处理；2.严重时，可解除劳动合同；3.构成诽谤的，报案处理。根据不同情况，选择合适方式，及时止损。
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常见的处理方式有教育警告、依据公司规定处罚、报案追究法律责任。您应根据谣言的严重程度和造成影响来选择，若只是轻微，可先教育警告；若对公司造成较大影响，可按公司规定处罚或解除劳动合同；若构成诽谤，则直接报案。